Essential University Physics 22.2 计算电势差

22.2 计算电势差

本节我们应用(22.1a)计算各种电荷分布的电势差。最重要的是点电荷的电势差,这是计算更复杂的电荷分布的电势差的基础。

点电荷的电势



图22.6 点电荷电场的电势差。

点电荷的电场分布为$\vec{E}=(kq/r^2)\hat{r}$。现在我们求$A、B$两点间的电势差,$A、B$两点到点电荷的距离分别为$r_A$和$r_B$。如图22.6所示。$A、B$两点间的电势差不等于$E(r_B-r_A)$,因为这里$E$不是匀强电场,我们要根据(22.1a)来计算:

\begin{equation*} \Delta V_{AB}=V(B)-V(A)=-\int_{r_A}^{r_B} \vec{E}\cdot d\vec{r} = -\int_{r_A}^{r_B} \frac{kq}{r^2}\hat{r}\cdot d\vec{r} \end{equation*}

从$A$运动到$B$,线元沿径向,线元大小为径向距离的增量$dr$,因此$d\vec{r}=\hat{r}dr$。代入上式,得电势差为

\begin{equation*} \Delta V_{AB}= -\int_{r_A}^{r_B} \frac{kq}{r^2}\hat{r}\cdot \hat{r}dr=-kq\int_{r_A}^{r_B}r^{-2}dr \end{equation*}

计算上式的积分得

\begin{equation}
\Delta V_{AB}=kq\left(\frac{1}{r_B}-\frac{1}{r_A} \right)
\tag{22.2}\label{22.2}
\end{equation}

结果合理吗?若$r_B\gt r_A$,电势差是负的,说明正的试探电荷倾向于从$r_A$“落”向$r_B$。如果反过来,让正的试探电荷从$r_B$移动到$r_A$,需要外力克服电场力做功。此结果对于$q\lt 0$也是适用的,只不过电势差符号要改变。

尽管我们导出\eqref{22.2}式时,$A、B$两点在同一径向上,但是此式也适用于不在同一径向上的任意两点。如图22.7所示。也不用管两点到点电荷的距离的相对大小。如果$r_B\lt r_A$,\eqref{22.2}式给出的结果是对的,电势差符号为正,意味着将正的试探电荷靠近正的点电荷,需要外力做功。



图22.7 电势差与路径无关,因此图上$A、B$两点电势差仍满足\eqref{22.2}式。

电势零点

只有电势差才有物理意义。但是,规定一个电势零点,常常非常便于讨论,这样我们就可以谈某点处的电势了,意思是该点与电势零点的电势差。电势零点一般根据数学或物理上的便利来选。在电力系统,常选地球为电势零点。汽车电路系统,常选汽车金属外壳为电势零点。

对于孤立电荷分布,我们常选无限远处为电势零点。在\eqref{22.2}式中,我们选$r_A\rightarrow \infty$,则$1/r_A=0$。我们略去$r_B$的下标,\eqref{22.2}式变为

\begin{equation}
V_{\infty r}=V(r)=\frac{kq}{r} \quad (点电荷的电势)
\tag{22.3}\label{22.3}
\end{equation}

我们称$V(r)$为“点电荷的电势”,我们的完整意思是,$V(r)$是距离点电荷$q$ $r$处相对无限远处的电势差。\eqref{22.3}式也适用于任意球对称电荷分布在电荷分布范围之外的电势,因为任意球对称电荷分布在电荷分布之外的电场与点电荷的电场是一样的。

两点相距无限远,两点间电势差却是有限的,你是不是会觉得奇怪?原因在于电场的平方反比定律,随距离增大,电场下降如此之快,结果将一电荷从无限远处移动至点电荷附近,做的功是有限的。情况类似力学中万有引力势能,我们完全逃离行星的万有引力的吸引,只需要有限的能量。只要电荷分布区域是有限的,电场随距离增大至少按距离的-2次幂减少,保证可以选无限远处为电势零点。

课堂练习22.4
你测量得点电荷电场中相距$10\mathrm{cm}$两点间电势差为$50\mathrm V$。那么在更靠近点电荷的相距$10\mathrm{cm}$两点间电势差会 (a) 更大; (b) 更小;
(c) 不变。

例题22.3:电势与功:在科学博物馆

波士顿科学博物馆电学厅有一台巨大的范德格拉夫起电机这是一台在金属球上积累电荷的装置。金属球半径为$R=2.30\mathrm{m}$,带上$Q=640\mathrm{\mu C}$的电量,将之视为孤立带电球,求(a)金属球表面上的电势,(b)将一质子从无限远处移至金属球表面处,需要做的功,(c)金属球表面到距离球心$2\mathrm m$处的电势差。

分析:求球对称电荷分布的电势。金属球外电场分布与将电荷集中于球心的点电荷的电场分布是一样的。绝对电势是没有意义的,题目中要求的电势即相对于无限远处的电势差。

根据\eqref{22.3}式,金属球外电势分布为$V(r)=\frac{kq}{r}, r\ge R$,曲线如图22.8所示。无限远处为电势零点,因此质子电量乘上金属球表面处电势就是将质子从无限远处移至金属球表面处所做的功。根据距离球心$R$处和$2R$处的电势就可以求得电势差$V_{R2R}$。



图22.8 例题22.3分析草图。

计算:球表面处电势

\begin{equation*} V(R)=\frac{kq}{R}=2.50\times 10^6 \mathrm V=2.50\mathrm{MV} \end{equation*}

此即球表面处相对无限远处的电势差,因此将一质子从无限远处移至金属球表面处,需要做功$2.50\mathrm{MeV}=4.0\times 10^{-13}\mathrm J$。

金属球表面到距离球心$2\mathrm m$处的电势差

\begin{equation*} V_{R2R}=V(2R)-V(R)=\frac{kq}{2R}-\frac{kq}{R}=-\frac{kq}{2R}=-1.25\times 10^6 \mathrm V=-1.25\mathrm{MV} \end{equation*}

检查:$V_{R2R}$为负,因为我们在远离带电球。结果表面,远离球一个半径,电势减小一半,这是电场随距离按$1/r^2$快速减小造成的。

例题22.4 电势差:高压电线
一长直输电线,半径为$1.0\mathrm{cm}$,均匀带电,电荷线密度为$\lambda = 2.6\mathrm{\mu C/m}$。假设没有其他电荷存在。求输电线与地面之间的电势差,地面距输电线$22\mathrm m$。

分析:直输电线看看做无限长带电直线,具有轴对称性。电场分布为$\vec{E}=\lambda \hat{r}/(2\pi \epsilon_0 r)$。应用(22.1a)求电势分布。分析草图见图22.9。



图22.9 长直输电线可近似为无限长带电圆柱。

计算:应用22.1a,积分路径为圆柱径向,即垂直于圆柱的直线。

\begin{equation} \begin{split} \Delta V_{AB}=&-\int_{r_A}^{r_B}\vec{E}\cdot d\vec{r}=-\int_{r_A}^{r_B}\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}\hat{r}\cdot d\vec{r} \\ =& -\int_{r_A}^{r_B}\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r} dr \\ =& \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 }\ln \left(\frac{r_A}{r_B} \right) \end{split} \tag{22.4}\label{22.4} \end{equation}

代入例题中的数据,得$\Delta V=-360\mathrm{kV}$。

检查:结果是负的,因为路径是远离带正电的直线。数学上是因为$r_A\lt r_B$,所以对数为负。答案的符号解表明,我们不可以选无限远处为电势零点,因为$r_B\rightarrow \infty$时,结果发散。物理上的理解是,我们已经假设电荷为无穷分布,不管距离电荷多远,电荷分布都不可以看成点电荷。数学是因为电场随距离按$1/r$减小,比点电荷电场慢。真实情况里,考虑到其他输电线和流入地球的电荷,我们的结果还要做修正。

根据叠加原理求电势

如果我们不知道电荷分布的电场,或者电场非常复杂,难以积分,我们可以根据叠加原理求电势。这常常要比计算电场容易得多。

考虑一点电荷$q$,从无限远处移至其他电荷的附近点$P$处,根据叠加原理,电荷分布的电场是各点电荷单独存在时的电场的。因此,对单位电荷做的功,即电势差,也是各点电荷的电势差之和。因此,点$P$处电势为

\begin{equation}
V(P)=\sum_i \frac{kq_i}{r_i}
\label{22.5}\tag{22.5}
\end{equation}

其中$r_i$为电荷分布中各点电荷到点$P$的距离,$q_i$为电荷分布中各点电荷的电量。电势的叠加原理,\eqref{22.5}式,比电场的叠加原理(20.4)优越多了,因为\eqref{22.5}式是标量求和。

例题22.5 离散电荷:电偶极子的电势

电偶极子中两电荷的电量为$\pm q$,相距$a$。求任意一点$P$处的电势。电偶极子到点$P$处的距离远大于电偶极子中两电荷间距。

分析:体系有两个点电荷,两个点电荷分别的电势加起来就是电偶极子的电势。可以选无限远处为电势零点。

此问题涉及的距离、角度、近似见如图22.10,具体分析见计算过程。



图22.10 求电偶极子的电势。

计算:根据\eqref{22.5}式,点$P$处电势为

\begin{equation*} V(P)=\frac{kq}{r_1}+\frac{-kq}{r_2}=\frac{kq(r_2-r_1)}{r_1r_2} \end{equation*}

此式对任何点$P$都适用。如果点$P$到电偶极子非常远。设电偶极子中心到点$P$距离为$r$,$r\gg a$。设正负电荷到点$P$的距离分别为$r_1$和$r_2$。$r_1r_2\approx r^2$。计算$r_2-r_1$要比较小心。看图22.10,$r_2-r_1\approx 2a\cos\theta$。所以,当$r\gg a$时,电偶极子电势为

\begin{equation}
V(r,\theta)=\frac{k(2aq)\cos\theta}{r^2}=\frac{kp\cos\theta}{r^2} \quad (电偶极子的电势)
\label{22.6}\tag{22.6}
\end{equation}

检查:电偶极子电势随距离增大按$1/r^2$的关系减小。前面,我们知道电偶极子电场随距离增大按$1/r^3$的关系减小。与$r$的关系差了一个幂次,这是因为电势是电场对距离的积分。对于点电荷也是同样的情况。点电荷的电场随距离增大按$1/r^2$的关系减小,而电势随距离增大按$1/r$的关系减小。由\eqref{22.6}式,当$\theta=90^{\circ}$时,$V=0$。$\theta=90^{\circ}$,对应电偶极子中垂面,将电荷从无限远处沿中垂面移动过来,移动路径总是与电场力垂直,因此不做功,如图22.11所示。



图22.11 电偶极子的电势的3D图。

课堂练习22.5
下图为电荷沿3条路径从无限远处来到点$P$处。点$P$位于电偶极子中垂面上。比较三种路径下,外力做的功。



连续电荷分布

连续电荷分布由无穷多无限小的电荷元$dq$组成,每个电荷元都可看做点电荷,对场点$P$处电势的贡献为$dV=kq/r$(设无限远处为电势零点)。点$P$处电势为所有电荷元的电势的和,也即积分:

\begin{equation}
V=\int dV=\int \frac{kdq}{r} \quad (连续电荷分布的电势)
\label{22.7}\tag{22.7}
\end{equation}

上式中积分区间是整个电荷分布区域。

例题22.6 连续电荷分布的电势:带电圆环

一带电圆环均匀带电,总电量为$Q$,圆环半径为$a$,求圆环轴线上的电势。

分析:将圆环看做连续电荷分布,根据\eqref{22.7}式计算电势分布。

分析草图如图22.12所示。圆环轴线设为$x$轴,圆环中心位于$x=0$处。所有电荷元到圆环轴线上同一点的距离都相等,$r=\sqrt{a^2+x^2}$。



图22.12 带电圆环

根据\eqref{22.7}式,

\begin{equation*} V(x)=\int \frac{kdq}{r} = \frac{k}{r}\int dq = \frac{kQ}{r} = \frac{kQ}{\sqrt{a^2+x^2}} \end{equation*}

这里积分这么简单,是因为各电荷元到圆环轴线上的距离$r$都相等,因此$r$可以提到积分符号外边,$\int dq$ 正好就是圆环上的总电量。

检查:距圆环非常远的地方,$x\gg a$,$a^2$ 可以忽略,结果变为$V(x)=kQ/x$,为点电荷的电势,这正是期望中的结果,因为在距离圆环很远的地方,圆环的大小不重要,可看成点电荷。在圆环的中心,电势$V(0)=kQ/a$。

例题22.7 连续电荷分布的电势:带电圆盘

一均匀带电圆盘,半径为$a$,电量为$Q$,求圆盘轴线上电势分布。

分析:连续电荷分布的电势,根据\eqref{22.7}来求。只是各元电荷到轴线上场点的距离不相等了。

圆盘轴线设为$x$轴,圆盘中心位于$x=0$处,设场点的坐标为$x$,电荷元为细圆环,如图22.13所示。每个细圆环在场点处产生的电势为$dV=kdq/\sqrt{x^2+r^2}$,整个圆盘在场点处产生的电势为

\begin{equation*} V(x)=\int_{圆盘}dV=\int_{r=0}^{r=a}\frac{kdq}{\sqrt{x^2+r^2}} \end{equation*}

要计算此积分,需要把$dq$与几何变量$r$联系起来。圆环面积为$2\pi rdr$,圆盘电荷面密度为$Q/(\pi a^2)$,因此圆环所带电量为$dq=(2\pi rdr)Q/(\pi a^2)=(2Q/a^2)rdr$。



图22.13 带电源盘元电荷为半径为$r$宽度为$dr$的细圆环。

计算:根据以上分析,电势为

\begin{equation*} V(x)=\int_{0}^{a}\frac{2kQ}{a^2}\frac{rdr}{\sqrt{x^2+r^2}}=\frac{2kQ}{a^2}\left (\sqrt{x^2+a^2}-|x| \right) \end{equation*}

检查:由图22.14,结果合理。圆盘附近,电势随距离成线性关系,类似无穷大带电平面电势。距圆盘非常远处,随距离成$1/r$关系,接近点电荷电势。介于两极限情况之间,即距离在圆盘半径量级上,电势就是我们所得结果。



图22.14 圆盘附近,带电圆盘电势趋于无限大带电平面电势,圆盘远处,带电圆盘电势趋于点电荷电势。

标签: 电势

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