聚电解质刷之间的相互作用



参考文献:The Journal of Chemical Physics 107, 5952 (1997)

单个刷

带正电聚电解质刷,刷内电势

\begin{equation}
\psi_1(x)=C-\frac{3\pi^2x^2}{8\alpha N^2a^2}=C-\frac{x^2}{H_0^2}
\label{psi1}
\end{equation}

小离子分布为

\begin{equation}
\rho_1(x)=Ce^{\psi_1(x)}=\frac{2Q_1}{\sqrt{\pi}sH_0}\frac{e^{-x^2/H_0^2}}{\mathrm{erf}(H/H_0)}
\label{rou1}
\end{equation}

其中$\mathrm{erf}$为误差函数,具体形式为

\begin{equation}
\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-t^2}\mathrm dt
\label{erf}
\end{equation}

高分子分布为

\begin{equation}
c(x)=\frac{\rho_1(x)}{\alpha}-\frac{1}{4\pi l_B\alpha}\frac{\mathrm d^2\psi_1(x)}{dx^2}=\frac{2Q_1}{\sqrt{\pi}\alpha sH_0}\frac{e^{-x^2/H_0^2}}{\mathrm{erf}(H/H_0)}+\frac{3\pi^2}{16l_B\alpha^2N^2a^2}
\label{c}
\end{equation}

刷内小离子数目

\begin{equation}
Q_1=\alpha N -\frac{3\pi^2sH}{16l_B\alpha^2N^2a^2}
\label{Q1}
\end{equation}

刷外小离子数目

\begin{equation}
Q_2=\alpha N -Q_1=\frac{3\pi^2sH}{16l_B\alpha^2N^2a^2}
\label{Q2}
\end{equation}

刷外区域电势满足如下泊松-玻尔兹曼方程

\begin{equation}
\frac{\mathrm d^2\psi_2(x)}{dx^2}=\frac{\rho_2(x)}{4\pi l_B}=\frac{Ce^{\psi(x)}}{4\pi l_B}
\label{PB2}
\end{equation}

边界条件为

\begin{equation}
\frac{\mathrm d\psi_2(x)}{dx}\Bigg |_{x=H}=-\frac{4\pi l_B Q_2}{s}=\frac{2}{\Lambda}
\label{BCH}
\end{equation}

在此边界条件下解方程\eqref{PB2},得

\begin{equation}
\psi_2(x)=-2\ln(x-H+\Lambda)+\psi_1(H)+\ln\Lambda
\label{psi2}
\end{equation}

以上$\Lambda=\frac{s}{2\pi l_B Q_2}$为古依-查普曼(Gouy-Chapman)长度。

刷外小离子分布为

\begin{equation}
\rho_2(x)=Ce^{\psi_2(x)}=\frac{1}{2\pi l_B(x-H+\Lambda)^2}
\label{rou2}
\end{equation}

小离子分布连续,有

\begin{equation}
\rho_1(H)=\frac{2Q_1}{\sqrt{\pi}sH_0}\frac{e^{-H^2/H_0^2}}{\mathrm{erf}(H/H_0)}=\rho_2(H)=\frac{1}{2\pi l_B\Lambda^2}
\label{rouH}
\end{equation}

两个刷

两个正对的刷,并且没有交叠。设刷间距为$2D$。刷内高分子和小离子分布不变,但刷外小离子分布有变化。

$H\lt x\lt D$区域内,泊松-玻尔兹曼方程形式与方程\eqref{PB2}一样,满足边界条件\eqref{BCH},还满足另一条件

\begin{equation}
\frac{\mathrm d\psi_2(x)}{dx}\Bigg |_{x=D}=0
\label{BCD}
\end{equation}

得电势分布为

\begin{equation}
\psi_2(x)=-2\ln\left[\frac{\sqrt{\beta^2+1}}{\beta}\cos\left(\beta\frac{D-x}{\Lambda} \right) \right ]
\label{psi2D}
\end{equation}

其中,$\beta$ 满足下式

\begin{equation}
\beta\tan\left(\beta\frac{D-H}{\Lambda} \right)=1
\label{betaD}
\end{equation}

刷外小离子分布为

\begin{equation}
\rho (x)=Ce^{\psi_2(x)}=\frac{\beta^2}{2\pi l_B\Lambda}\sec^2[\beta(D-x)/\Lambda]
\label{rou2D}
\end{equation}

刷的厚度由小离子连续性可得。

两刷之间的压强由小离子渗透压提供,

\begin{equation}
\Pi=k_BT\rho (D)
\label{osmoticpressure}
\end{equation}

标签: sst, 聚电解质刷

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